L'espressione dell'arte nella matematica: la catenaria
Definizione analitica ed applicazione in architettura, da Galileo a Gaudí
Presentazione
La scoperta, dal punto di vista matematico, della funzione catenaria e la sua successiva applicazione in architettura nasce dalla curiosità di Galileo Galilei che provo a descriverne la sua funzione.Provo a dedinire la traiettoria descritta da un filo appeso alle sue estremità, flessibile, sottoposto soltanto al suo stesso peso. Galileo non potendone dimostrare l’effettivo andamento, approssimò la traiettoria della curva descritta a partire dalla “catenella”, cioè lo strumento da lui usato, alla parabola. Solamenente nel 1600 alcuni importanti matematici riuscrirono a spiegare effettivamente il reale andamento nel piano della curva , definendone la runzione, soprattutto grazie alle recenti scoperte del calcolo infinitesimale, successive alla morte di Galileo.
Una sfida per scoprire la catenaria
Nel 1669 Joachim Jungius, nell’opera “Geometria empyrica”, dimostrò che la curva descritta da una catena appesa a due chiodi, sotto l'azione della gravità, non è una parabola e che Galileo aveva commesso un errore. Trovare la sua funzione reale però era un ostacolo, per questo nel 1690 Johann Bernoulli, attraverso una rivista scientifica, lanciò nel 1690 una sfida ai più illustri matematici del tempo con lo scopo di scoprire la funzione della catenaria. Durante questi studi furono gettate le basi per quello che poi sarebbe stato definito calcolo infinitesimale. La dimostrazione matematica effettuata dai matematici dimostrò che quella di Galileo è esattamente la funzione coseno iperbolico.
Particolarità della catenaria
Un' interessante proprietà della catenaria, riguarda l’equazione della funzione catenaria: posto ℎ = 1, la funzione risulta essere il coseno iperbolico, quindi Y= a cosh (x/a). Inoltre, mantenendo lo stesso valore del parametro h, ogni punto della catenaria è “punto medio” dei corrispondenti punti delle funzioni esponenziali 𝑦=e elevato alla x e y= e elevato alla -x Infatti, per ogni valore di x, il valore assunto da 𝑓(𝑥) sarà il punto medio del segmento che congiunge i punti delle funzioni esponenziali.
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